torsdag 1. april 2010

Digital tilnærming til den deriverte

Det er mange tilnærminger til den deriverte. Når jeg selv skulle lære hva den deriverte var, begynte vi med teorien. Det vil si at vi så på hva som skjedde når vi betraktet funksjonen $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Ut fra dette utledet vi en rekke deriverte, og kom fram til at den generelle regelen $(ax^n)^\prime=a \cdot n \cdot x^{n-1}$. Det finnes andre veier fram mot målet. Geogebra er en fin måte å begynne med reglene, for så å ende opp i teorien. Jeg har prøvd dette i undervisning, og opplever at forståelsen av hva den deriverte er like god.

Første mål med min undervisning er å få elevene med på hva den deriverte er. Da har jeg brukt geogebra for å vise at den deriverte er en funksjon som for gitte x-vedier gir vekstfarten til den oprinnelige funksjonen. Jeg bruker å starte med en andregradsfunksjon, og sannsynligjøre at funksjonen som viser vekstfarten til $f(x)$ er en førstegradsfunksjon. Jeg gjør det samme ressonementet med en tredjegradsfunksjon. Formen til kurven som viser vekstfarten til en tredjegradsfunksjonen er lett gjenkjennelig for elevene som en andregradsfunksjon. I geogebra kan verdiene til et punkt overføres til et regneark. Når punktet flyttes overføres en rekke punkter til en linje eller kurve til regnearket i geogebra. Ved regresjon kan det vises at vekstfartfunksjonen til et hvilket som helst polynom er av en orden mindre.

Et eksempel på en tilnærming er vist i videoen under. Her viser jeg hvordan jeg kan sannsynliggjøre at når $f(x)=x^2+x-1$ deriveres blir den til $f(x)=2x+1$.



Når dette er gjort for flere ulike funksjoner, og de deriverte er skrevet opp på tavlen i en tabell f.eks, så kan jeg sammen med elevene prøve å se de litt større linjene.

Videoen viser at
\[f(x)=x^2+x-1 \rightarrow f^\prime(x)=2x+1\]
Med flere eksempler kan vi komme fram til at
\[f(x)=x^3+3x^2+x+1 \rightarrow f^\prime(x)=3x^2+6x+1\]
osv...

Da kan det være lett og vise at vi får den generelle regelen for derivasjon
 \[(ax^n)^\prime=a \cdot n \cdot x^{n-1}\]

Uten å være innom derivasjonsteorien har vi altså kommet fram til de samme reglene som jeg engang kom fram til gjennom en teoretisk tilnærming. Når denne regelen er akseptert hos elevene kan vi se videre på eksempler som $f(x)=\frac{1}{x^2}$ og $f(x)=\sqrt{x}$. Etter dette faller det naturlig å komme inn på teorien. Da er også geogebra en god hjelp.





Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


Appleten over har jeg benyttet som en teoretisk tilnærming til den deriverte.

Dette gir meg valg av tilnærmingsmåte for den deriverte. Denne måten er en mer visuell og kanskje intuitiv måte å forstå hva den deriverte er. Likevel kommer vi inn på den teoretiske bakgrunnen, og kan gå i dybden av den.

Selvfølgelig har begge metoder sine styrker. Den måten jeg måtte gjennom da jeg var elev, er vel den som kan anses som en matematisk tilnærming og den man ønsker skal videreføres. Jeg velger likevel å tro at elevene kan sitte igjen med samme kunnskap etter en digital tilnærming som skissert ovenfor. Ved å starte med hva den deriverte betyr, tror jeg at det er lette å forstå nytten og bruken av den deriverte.

Ingen kommentarer:

Legg inn en kommentar